Question

已知sinx+siny=

1

2

．
（1）求μ=3sinx-cos²y的最大值和最小值；
（2）求t=αsinx-cos²y（其中α∈R）的最小值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：（1）把已知的等式变形，代入μ=3sinx-cos²y后化为关于sinx的二次函数，然后利用配方法求其最值；
（2）把已知的等式变形，代入μ=3sinx-cos²y后化为关于sinx的二次函数，然后对α分类求得函数的最小值．

解答： 解：（1）∵sinx+siny=

1

2

，
∴siny=

1

2

-sinx，
∴μ=3sinx-cos²y=3sinx-（1-sin²y）
=sin²y+3sinx-1=(

1

2

-sinx)2+3sinx-1
=(sinx+1)2-

7

4

．
∴μ=3sinx-cos²y的最大值为

9

4

，最小值为-

7

4

；
（2）t=αsinx-cos²y=αsinx-（1-sin²y）
=sin²y+αsinx-1=(

1

2

-sinx)2+αsinx-1
=sin2x+(α-1)sinx-

3

4

．
令sinx=m（-1≤m≤1），
则t=m2+(α-1)m-

3

4

．
对称轴方程为m=

1-α

2

，
当

1-α

2

≤-1，即α≥3时，函数的最小值为(-1)2-(α-1)-

3

4

=

5

4

-α；
当-1＜

1-α

2

＜1，即-1＜α＜3时，函数的最小值为(

1-α

2

)2+(α-1)•

1-α

2

-

3

4

=

α2

4

-1；
当

1-α

2

≥1，即α≤-1时，函数的最小值为12+α-1-

3

4

=α-

3

4

．
综上，t=αsinx-cos²y（其中α∈R）的最小值为f(α)=

5 4 -α，α≥3 α2 4 -1，-1＜α＜3 α- 3 4 ，α≤-1

．

点评：本题考查了三角函数的最值，考查了数学转化思想方法，训练了配方法求函数的最值，对于（2）的求解，正确分类是关键，是中档题．