Question

9．若直线ax+by+1=0（a、b＞1）过圆x²+y²+8x+2y+1=0的圆心，则$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为16．

Answer 1

分析 直线过圆心，先求圆心坐标，推出4a+b=1，利用1的代换，以及基本不等式求最小值即可．

解答 解：圆x²+y²+8x+2y+1=0的圆心（-4，-1）在直线ax+by+1=0上，
所以-4a-b+1=0，即 1=4a+b代入，
得$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）（4a+b）=8+$\frac{b}{a}$+$\frac{16a}{b}$≥16（a＞0，b＞0当且仅当4a=b时取等号）
则$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为16，
故答案为：16．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，基本不等式，本题关键是利用1的代换后利用基本不等式，考查计算能力，是基础题．