Question

已知向量

m

=（sinx+cosx，2cosx），

n

=（sinx+cosx，cosx），记f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若方程f（x）-1=0在区间（0，π）内有两个零点x₁，x₂，求x₁+x₂的值．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,函数的零点与方程根的关系,两角和与差的正弦函数

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先根据向量的坐标运算求出f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x再通过恒等变换求出f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)+2，进一步利用整体思想求出单调区间．
（Ⅱ）利用上一步的结论求出零点，最后进一步求出结果．

解答： 解：（Ⅰ）已知向量

m

=（sinx+cosx，2cosx），

n

=（sinx+cosx，cosx），
所以：f（x）=

m

•

n

=（sinx+cosx）²+2cos²x=

2

sin(2x+

π

4

)+2，
令：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），
解得：-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，
所以函数f（x）的单调递增区间为：[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]（k∈Z）；
（Ⅱ）方程f（x）-1=0在区间（0，π）内有两个零点x₁，x₂
所以：

2

sin(2x+

π

4

)+1=0，
即：sin(2x+

π

4

)=-

2

2

，
因为：x∈（0，π），
所以：2x1+

π

4

=

5π

4

或2x2+

π

4

=

7π

4

，
解得：x1=

π

2

或x2=

3π

4

，
x1+x2=

5π

4

．

点评：本题考查的知识要点：向量的坐标运算，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调性的应用，函数零点的应用，属于基础题型．