Question

14．如图，锐角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点A（x₁，y₁），将射线OA绕原点按逆时针方向旋转$\frac{π}{3}$后与单位圆交于点B（x₂，y₂），记函数f（α）=y₁+y₂．
（1）求函数f（α）的值域；
（2）比较f（$\frac{1}{2}$）和f（$\frac{3}{2}$）的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）f（α）=y₁+y₂=sinα+sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$sin（α+$\frac{π}{6}$），即可求函数f（α）的值域；
（2）确定f（α）在（0，$\frac{π}{3}$]上单调递增，在[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）上单调递减，且关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，f（$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{2π}{3}$-$\frac{3}{2}$），即可比较f（$\frac{1}{2}$）和f（$\frac{3}{2}$）的大小．

解答 解：（1）f（α）=y₁+y₂=sinα+sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$sin（α+$\frac{π}{6}$），
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴α+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），
∴f（α）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]；
（2）∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴f（α）在（0，$\frac{π}{3}$]上单调递增，在[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）上单调递减，且关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，
∴f（$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{2π}{3}$-$\frac{3}{2}$），
∵0＜$\frac{1}{2}$＜$\frac{2π}{3}$-$\frac{3}{2}$＜$\frac{π}{3}$，
∴f（$\frac{1}{2}$）＜f（$\frac{2π}{3}$-$\frac{3}{2}$），
即f（$\frac{1}{2}$）＜f（$\frac{3}{2}$）．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，正弦函数的定义域和值域、单调性，属于中档题．