题目内容
4．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|AF|=2，$\overrightarrow{CB}$=2$\overrightarrow{BF}$，则抛物线的方程为（ ）| A． | y2=x | B． | y2=2x | C． | y2=4x | D． | y2=8x |
分析 分别过A、B作准线的垂线，利用抛物线定义将A、B到焦点的距离转化为到准线的距离，利用△BCD∽△FCG即可得p值，进而可得方程．
解答 
解：分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D
由$\overrightarrow{CB}$=2$\overrightarrow{BF}$，可知：丨$\overrightarrow{CB}$丨=2丨$\overrightarrow{BF}$丨，设|BF|=a，则|BC|=2a，|BD|=a，
∴∠BCD=30°，
在直角三角形ACE中，
∵|AF|=2，|AC|=2+3a，
∴2|AE|=|AC|，
∴2+3a=4，即a=$\frac{2}{3}$，
|CF|=2，
∴sin∠BCD=$\frac{丨GF丨}{丨CF丨}$=$\frac{p}{2}$，解得p=1，
∴抛物线方程为y2=2x．
故选：B．
点评 本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，转化化归的思想方法，属中档题．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
14．已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上点P（-3，m）到焦点F1的距离为5，则抛物线方程为（ ）
| A． | y2=8x | B． | y2=-8x | C． | y2=4x | D． | y2=-4x |
15．复数Z=1+i，则$\frac{1}{Z}$+Z对应的点所在象限为（ ）
| A． | 第一象限 | B． | 第二象限 | C． | 第三象限 | D． | 第四象限 |
12．已知sinθ=$\frac{1}{3}$，θ∈（$\frac{π}{2}$，π），则cosθ=（ ）
| A． | $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$ | B． | $-\frac{2}{3}$ | C． | $-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$ | D． | $-\frac{12}{13}$ |
19．已知曲线C：y2=4x的焦点为F，过点F的直线l与曲线C交于P，Q两点，且$\overrightarrow{FP}$+2$\overrightarrow{FQ}$=$\overrightarrow 0$，则△OPQ的面积等于（ ）
| A． | $2\sqrt{2}$ | B． | $3\sqrt{2}$ | C． | $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$ | D． | $\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$ |
如图，锐角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点A（x1，y1），将射线OA绕原点按逆时针方向旋转$\frac{π}{3}$后与单位圆交于点B（x2，y2），记函数f（α）=y1+y2．