已知曲线C的方程为F|F(x.y)=0}.若对于任意的(x1.y1)∈T.都存在(x2.y2)∈T.使得x1x2+y1y2=0成立.则称曲线C为$\sum {\;}^{\;}$曲线.下列方程所表示的曲线中.是$\sum {\;}^{\;}$曲线的有①③⑤(写出所有$\sum {\;}^{\;}$曲线的序号)①2x2+y2=1,②x2-y2=1,③y2=2x,④|x|-|y|=1,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x₁，y₁）∈T，都存在（x₂，y₂）∈T，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，则称曲线C为$\sum_{\;}^{\;}$曲线，下列方程所表示的曲线中，是$\sum_{\;}^{\;}$曲线的有①③⑤（写出所有$\sum_{\;}^{\;}$曲线的序号）
①2x²+y²=1；②x²-y²=1；③y²=2x；④|x|-|y|=1；⑤（2x-y+1）（|x-1|+|y-2|）=0．

分析由$\sum_{\;}^{\;}$曲线的定义可知，具备$\sum_{\;}^{\;}$曲线的条件是对于任意的P₁（x₁，y₁）∈T，都存在P₂（x₂，y₂）∈T，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，即OP₁⊥OP₂．然后逐个验证即可得到答案．

解答解：对于任意P₁（x₁，y₁）∈T，存在P₂（x₂，y₂）∈T，使x₁x₂+y₁y₂=0成立，即OP₁⊥OP₂．
对于①2x²+y²=1，∵2x²+y²=1的图象关于原点中心对称，
∴对于任意P₁（x₁，y₁）∈C，存在P₂（x₂，y₂）∈C，使OP₁⊥OP₂．故2x²+y²=1为$\sum_{\;}^{\;}$曲线；
对于②x²-y²=1，当P₁（x₁，y₁）为双曲线的顶点时，双曲线上不存在点P₂（x₂，y₂）∈C，使OP₁⊥OP₂．故x²-y²=1不是$\sum_{\;}^{\;}$曲线；
对于③y²=2x，其图象关于y轴对称，OP₁的垂线一定与抛物线相交，故y²=2x为$\sum_{\;}^{\;}$曲线；
对于④，当P₁（x₁，y₁）为（1，0）时，曲线上不存在点P₂（x₂，y₂）∈C，使OP₁⊥OP₂．故④不是$\sum_{\;}^{\;}$曲线；
对于⑤，由（2x-y+1）（|x-1|+|y-2|）=0可得2x-y+1=0或点（1，2），
∴对于任意P₁（x₁，y₁）∈C，存在P₂（x₂，y₂）∈C，使OP₁⊥OP₂．故（2x-y+1）（|x-1|+|y-2|）=0为$\sum_{\;}^{\;}$曲线．
故答案为：①③⑤．