Question

已知函数f（x）=2^-x2+ax+3
（1）当a=0时，求函数f（x）的值域；
（2）若A={x|y=lg（5-x）}，函数f（x）=2^-x2+ax+3在A内是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：指数型复合函数的性质及应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）换元把函数可转化为：y=2^t，t≤3，根据指数函数的单调性可判断：0＜y≤2³=8，
（2）根据复合函数的单调性判断g（x）=-x²+ax+3，在（-∞，5）是单调递增函数，即得出

a

2

≥5，求解即可a≥10．

解答： 解：（1）当a=0时，函数f（x）=2 -x2+3，
令t（x）=3-x²，t≤3，
∴函数可转化为：y=2^t，t≤3，
根据指数函数的单调性可判断：0＜y≤2³=8，
故函数f（x）的值域：（0，8]．
（2）∵A={x|y=lg（5-x）}，
∴A=（-∞，5），
∵函数f（x）=2^-x2+ax+3在A内是增函数，
∴g（x）=-x²+ax+3，在（-∞，5）是单调递增函数，
即

a

2

≥5，a≥10
故a的取值范围：a≥10，

点评：本题综合考查了指数函数，二次函数的单调性，运用求解问题，属于中档题，关键是等价转化．