Question

5．如图所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：MN⊥CD；
（3）若PA=AD，求证：MN⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）取PD的中点E，连结AE、EN，证明四边形AMNE是平行四边形，可得MN∥AE，利用线面平行的判定，即可得出结论．
（2）由线面垂直得PA⊥CD，由矩形性质得AD⊥CD，由此能证明CD⊥MN．
（3）由等腰三角形性质得AE⊥PD，又AE⊥CD，从而AE⊥平面PCD，由此能证明MN⊥平面PCD．

解答 证明：（1）如图，取PD的中点E，连结AE、EN
则有EN∥CD∥AM，且EN=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB=MA．
∴四边形AMNE是平行四边形．
∴MN∥AE．
∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）∵PA⊥矩形ABCD所在的平面，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵矩形ABCD中，AD⊥CD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，又AE?平面PAD，∴CD⊥AE，
∵MN∥AE，∴CD⊥MN．
（3）∵PA=AD，E是PD中点，∴AE⊥PD，
又AE⊥CD，CD∩PD=D，
∴AE⊥平面PCD，
∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．