Question

15．某班50位同学周考数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]．
（1）求图中[80，90）的矩形高的值，并估计这50人周考数学的平均成绩；
（2）根据直方图求出这50人成绩的众数和中位数（精确到0.1）；
（3）从成绩在[40，60）的学生中随机选取2人，求这2人成绩分别在[40，50）、[50，60）的概率．

Answer 1

分析 （1）根据频率分布直方图的概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出图中[80，90）的矩形高的值，由此能估计这50人周考数学的平均成绩．
（2）由频率分布直方图能求出50人成绩的众数和中位数．
（3）成绩在[40，60）的学生有6人，其中成绩在[40，50）、[50，60）中各有3人，由此利用等可能事件概率计算公式能求出这2人成绩分别在[40，50）、[50，60）的概率．

解答 解：（1）由频率分布直方图得：
（0.006×3+0.01+0.054+x）×10=1，
解得x=0.018．∴图中[80，90）的矩形高的值为0.018．
由频率分布直方图估计这50人周考数学的平均成绩：
$\overline{x}$=45×0.06+55×0.06+65×0.1+75×0.54+85×0.18+95×0.06=74（分）．
（2）由频率分布直方图得这50人成绩的众数为75，
∵（0.006+0.006+0.01+0.54）×10=0.76，
∴中位数应位于第四个小矩形中，
设其底边为x，高为0.054，则0.054x=0.28，
解得x≈5.2
∴中位数M=75.2．
（3）成绩在[40，60）的学生有（0.006+0.006）×10×50=6人，
其中成绩在[40，50）、[50，60）中各有3人，
从中随机选取2人，基本事件总数n=${C}_{6}^{2}=15$，
这2人成绩分别在[40，50）、[50，60）包含的基本事件个数m=${C}_{3}^{1}•{C}_{3}^{1}$=9，
∴这2人成绩分别在[40，50）、[50，60）的概率p=$\frac{m}{n}=\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查平均数、众数、中位数的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．