Question

13．在正三棱锥S-ABC中，M，N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=$\sqrt{3}$，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是9π．

Answer 1

分析 根据三棱锥为正三棱锥，可证明出AC⊥SB，结合SB⊥AM，得到SB⊥平面SAC，因此可得SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直．最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表面积公式，可得正三棱锥S-ABC的外接球的表面积．

解答 解：∵M，N分别是棱SC、BC的中点，
∴MN∥SB，
MN⊥AM，可得SB⊥AM，
由正三棱锥的性质可得SB⊥AC，
∴SB⊥平面SAC⇒SB⊥SA且SB⊥AC，
∵三棱锥S-ABC是正三棱锥
∴SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直．
∵侧棱SA=$\sqrt{3}$，
∴正三棱锥S-ABC的外接球的直径为：2R=3
外接球的半径为R=$\frac{3}{2}$
∴正三棱锥S-ABC的外接球的表面积是S=4πR²=9π
故答案为：9π．

点评 本题以正三棱锥中的垂直关系为例，考查了空间线面垂直的判定与性质，以及球内接多面体等知识点，属于中档题．