Question

20．已知实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x≤4-2y\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$，那么x²+y²-10x-6y的最小值为$-\frac{121}{5}$ ．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，再由x²+y²-10x-6y的几何意义，可得定点M（5，3）到直线x+2y-4=0的距离的平方减34，即为最小值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x≤4-2y\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$作出可行域如图，

x²+y²-10x-6y=（x-5）²+（y-3）²-34．
其几何意义为定点M（5，3）到直线x+2y-4=0的距离的平方减34．
又M（5，3）到直线x+2y-4=0的距离d=$\frac{|1×5+2×3-4|}{\sqrt{5}}=\frac{7}{\sqrt{5}}$．
∴x²+y²-10x-6y的最小值为$（\frac{7}{\sqrt{5}}）^{2}-34=-\frac{121}{5}$．
故答案为：$-\frac{121}{5}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．