Question

11．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=-f（x+1），当x∈[1，3]时，f（x）=1-2|2-x|，则（　　）

• A． f（sin$\frac{2π}{3}$）＜f（cos$\frac{2π}{3}$）
• B． f（sin$\frac{π}{6}$）＜f（sin$\frac{π}{3}$）
• C． f（cos$\frac{π}{3}$）＜f（cos$\frac{π}{4}$）
• D． f（tan$\frac{π}{6}$）＜f（tan$\frac{π}{4}$）

Answer 1

分析 确定函数的周期为2，x∈[-1，1]，函数单调递减，即可得出结论．

解答 解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x）=-f（x+1），
∴f（x+2）=f（x），
∴函数的周期为2．
设x∈[-1，1]，则x+2∈[1，3]，∴f（x+2）=1-2|x|=f（x），
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+2x，-1≤x≤0}\\{1-2x，0＜x≤1}\end{array}\right.$，（0，1]上，函数单调递减，
∵sin$\frac{2π}{3}$＞cos$\frac{π}{3}$，f（cos$\frac{2π}{3}$）=f（cos$\frac{π}{3}$）
∴f（sin$\frac{2π}{3}$）＜f（cos$\frac{2π}{3}$），
故选：A．

点评 本题考查函数的周期性与单调性，考查学生分析解决问题的能力，确定函数的周期为2，x∈[0，1]，函数单调递减是关键．