Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AD=2PA=2BC=2．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PCD；
（Ⅱ）在线段PD上是否存在点E，使CE与平面PAD所成的角为45°？若存在，求出有

PE

PD

的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（I）由已知中PA⊥平面ABCD，∠PBA=45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=

1

2

AD，由勾股定理可得AC⊥CD，PA⊥CD，再由线面垂直的判定定理可得CD⊥面PAC，再由面面垂直的判定定理即可得到答案．
（II）取AD中点M，连接CM，可证得CM⊥平面PAD，连接ME，∠CME就是CE与平面PAD所成的角，进而根据CE与平面PAD所成的角为45°，得到满足条件的E点位置，进而得到答案．

解答： 证明：（Ⅰ）连接AC，
∵PA=BC=1，AD=2．
∵PA⊥面ABCD，
∴PA⊥AB，
而∠PBA=45°，
∴AB=1，
又∠ABC=∠BAD=90°，
易得CD=AC=

2

．
由勾股定理逆定理得则AC⊥CD，
又PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD．
又∵AC，PA?平面PAC，AC∩PA=A，
∴CD⊥平面PAC，
又∵CD?平面PCD，
∴平面PAC⊥平面PCD．

（Ⅱ）取AD中点M，连接CM，
∵AD=2BC，故AM=BC，
此时四边形ABCM为矩形，则CM⊥AD，
又∵PA⊥平面ABCD，CM?平面ABCD，
∴PA⊥CM．
∵AD，PA?平面PAD，AD∩PA=A，
∴CM⊥平面PAD，
连接ME，∠CME就是CE与平面PAD所成的角．
∵CM=1，
∴ME=1，在△PAD中，MD=1，

PE

PD

=1．
不难求到另一个点E的位置为

PE

PD

=

1

5

，
所以，线段PD上存在点E，使CE与平面PAD所成的角为45⁰，此时

PE

PD

=1或

1

5

．

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面的夹角，存在性问题，难度中档．