Question

（1）（用综合法证明）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且A、B、C成等差数列，a，b，c成等比数列，证明：△ABC为等边三角形．
（2）（用分析法证明）已知a＞b＞c，求证：

1

a-b

+

1

b-c

≥

4

a-c

．

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（1）先确定B的度数，再利用a、b、c依次成等比数列，及余弦定理，即可证得结论；
（2）把证明不等式转化为寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然已经具备为止．

解答： 证明：（1）∵三内角A、B、C的度数成等差数列
∴2B=A+C，
∵A+B+C=180°，
∴B=60°，
∵a、b、c成等比数列，∴b²=ac，
∴cosB=

1

2

，
∴（a-c）²=0，∴a=c，
∵B=60°
∴△ABC为等边三角形；
（2）要证明：

1

a-b

+

1

b-c

≥

4

a-c

，
只要证明：[（a-b）+（b-c）][

1

a-b

+

1

b-c

]≥4，
只要证明：

b-c

a-b

+

a-b

b-c

≥2，显然成立，
∴

1

a-b

+

1

b-c

≥

4

a-c

．

点评：本题考查余弦定理，考查等差数列与等比数列的综合，解题的关键是确定角与边的关系．用分析法证明不等式，把证明不等式转化为寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然已经具备为止