Question

若函数f（x）=sinωxcosωx-

3

sin²ωx+

3

2

（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与轴的交点，且△ABC为直角三角形．
（Ⅰ）求ω的值及f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）的图象与f（x）的图象与关于点（-

1

3

，0）对称，且对一切x∈R，恒有m²+[g（x）]²＞4[m+g（-x）]成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,函数恒成立问题,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，利用周期公式求得ω，根据正弦函数的性质求得函数的单调增区间．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sinωxcosωx-

3

sin²ωx+

3

2

=

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx
=sin（2ωx+

π

3

），
∴f（x）_max=1，

T

2

=2，T=4，
由

T

2ω

=4，
∴ω=

π

4

∴f（x）=sin（

π

2

x+

π

3

），
其递增区间满足：-

π

2

+2kπ≤

π

2

x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[4k-

5

3

，4k+

1

3

]，k∈Z．
（Ⅱ）由已知g（x）=-f（-

2

3

-x）=-sin[

π

2

（-

2

3

-x）+

π

3

]=sin

π

2

x，
由 m²+[g（x）]²＞4[m+g（-x）]，得m²-4m＞-[g（x）]²+4g（-x），
设t=-[g（x）]²+4g（-x）=sin²

π

2

x+4sin[

π

2

（-x）]=-sin²

π

2

x-4sin

π

2

x=-（sin

π

2

x+2）²+4，
∵x∈R，
∴sin

π

2

x=-1时，t有最大值，且t_max=-1+4=3，
∴m²-4m＞3，即m²-4m-3＞0，
解得m＜2-

7

或m＞2+

7

．

点评：本题主要考查了三角函数图象与性质，运用了函数的思想及转化与化归的思想．