Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a+b=5，c=

7

，4cos²

C

2

-cos2C=

7

2

．
（1）求角C的大小；  
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用余弦的二倍角公式对已知等式整理求得cosC的值，进而求得C．
（2）利用余弦定理求得ab的值，最后利用三角形面积公式求得答案．

解答： （1）解：由4cos2

C

2

-cos2C=

7

2

得
∴4•

1+cosC

2

-(2cos2C-1)=

7

2

，
整理，得4cos²C-4cosC+1=0
解得：cosC=

1

2

，
∵0°＜C＜180°，
∴C=60°
（2）解：由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即7=a²+b²-ab∴7=（a+b）²-3ab
由条件a+b=5得 7=25-3ab，
∴ab=6
∴S△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×6×

3

2

=

3 3

2

．

点评：本题主要考查了余弦定理和正弦定理的运用．考查了学生分析和推理的能力．