Question

直线kx-y=k+2和x-ky=k（k＞1）与y轴围成的三角形的面积的最小值为（　　）

• A、3
• B、

  2 2 +3

  2

• C、

  5

  2

• D、

  2 +3

  2

Answer 1

考点：三角形的面积公式

专题：计算题,直线与圆

分析：根据题意，两条直线在y轴上的交点分别为A（0，-k-2）、B（0，-1），再求出两条直线的交点为C（

k2+k

k2-1

，

-k2+k+2

k2-1

）．根据k＞1可得C的横坐标大于0，从而得出S_△ABC=

1

2

|AB|•x_C=

1

2

•

k2+k

k -1

，再由基本不等式算出

k2+k

k -1

的最小值为3+2

2

，即可得到当k=

2

+1时S_△ABC有最小值

2 2 +3

2

，从而得到答案．

解答： 解：求得直线kx-y=k+2与y轴的交点为A（0，-k-2），
直线x-ky=k与y轴的交点为B（0，-1）
联解

kx-y=k+2 x-ky=k

，得

x= k2+k k2-1 y= -k2+k+2 k2-1

，
∴直线kx-y=k+2和x-ky=k的交点为C（

k2+k

k2-1

，

-k2+k+2

k2-1

）．
∵k＞1，得x_C=

k2+k

k2-1

＞0．
∴S_△ABC=

1

2

|AB|•x_C=

1

2

×（k+1）×

k2+k

k2-1

=

1

2

•

k2+k

k -1

，
∵

k2+k

k -1

=

(k-1)2+3(k-1)+2

k -1

=（k-1）+

2

k -1

+3，
且（k-1）+

2

k -1

≥2

(k-1)• 2 k -1

=2

2

，
∴S_△ABC=

1

2

•

k2+k

k -1

≥

2 2 +3

2

，
当且仅当k-1=

2

k -1

即k=

2

+1时，S_△ABC有最小值

2 2 +3

2

．
故选：B

点评：本题给出含有参数的两条直线，求它们与y轴围成的三角形面积的最大值．着重考查了直线的方程、直线的位置关系、坐标系中三角形面积的求法与利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．