Question

已知平面区域

x≥0 y≥0 x+2y-4≤0

被圆C及其内部所覆盖．
（1）当圆C的面积最小时，求圆C的方程；
（2）若斜率为1的直线l与（1）中的圆C交于不同的两点A、B，且满足S△ABC=

5

2

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：简单线性规划,直线的一般式方程,圆的标准方程,直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）作出平面区域，利用圆C的面积最小时，确定圆心和圆的半径即可求圆C的方程；
（2）设出直线l的方程，利用直线和圆的位置关系结合S△ABC=

5

2

，建立方程关系，即可求直线l的方程．

解答： 解：（1）作出不等式组对应的平面区域，由O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，
由于覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，
∴圆心是Rt△OPQ的斜边PQ的中点C（2，1），半径r=|OC|=

22+12

=

5

，
∴圆C的方程是（x-2）²+（y-1）²=5．
（2）∵圆C的方程是（x-2）²+（y-1）²=5．
∴设直线l的方程为y=x+b，
则圆心C到直线AB的距离d=

|2-1+b|

2

=

|b+1|

2

，
将直线方程代入圆的方程得
∵BC=

5

，
∴AB=2

BC2-d2

=2

5-( |b+1| 2 )2

=2

5- (b+1) 2 2

，
∵S△ABC=

5

2

，
∴S△ABC=

5

2

=

1

2

•AB•d，
即

1

2

×

|b+1|

2

×2

5- (b+1) 2 2

=

5

2

，
即

|b+1|

2

•

10-(b+1)2 2

=

5

2

，
∴|b+1|•

10-(b+1)2

=5，
即（b+1）²•[10-（b+1）²]=25，
∴（b+1）⁴-10（b+1）²+25=0，
即[（b+1）²-5]²=0，
∴（b+1）²=5，
解得b=-1±

5

，满足条件，
∴直线l的方程的方程为y=x+(-1±

5

)．

点评：本题主要考查线性规划的应用，以及圆的方程的求法，利用直线和圆的位置关系求出相交线AB的长度，结合三角形的面积公式是解决本题的关键，运算量较大，综合性较强．考查学生的运算能力．