Question

5．已知等差数列{a_n}满足${a_3}=7，{a_5}+{a_7}=26，{b_n}=\frac{1}{{{a_n}^2-1}}（n∈{N^*}）$，数列{b_n}的前n项和为S_n，则S₁₀₀的值为$\frac{25}{101}$．

Answer 1

分析 利用等差数列的通项公式与“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₃=7，a₅+a₇=26，
∴a₁+2d=7，2a₁+10d=26，
解得a₁=3，d=2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{4{n}^{2}+4n}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴S_n=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{n}{4（n+1）}$．
∴S₁₀₀=$\frac{100}{4（100+1）}$=$\frac{25}{101}$
故答案为：$\frac{25}{101}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．