Question

20．若$\overrightarrow{a}$=（a₁，a₂），$\overrightarrow{b}$=（b₁，b₂），定义一种向量积：$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=（a₁b₁，a₂b₂），已知$\vec m=（1，\frac{1}{2}），\vec n=（0，1）$，且点P（x，y）在函数$y=sin\frac{x}{2}$的图象上运动，点q在函数y=f（x）的图象上运动，且点p和点q满足：$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{m}$?$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{n}$（其中O为坐标原点），则函数y=f（x）的最大值A及最小正周期T分别为（　　）

• A． 1，π
• B． 1，4π
• C． $\frac{3}{2}，π$
• D． $\frac{3}{2}，4π$

Answer 1

分析 设点P，Q的坐标，根据$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{m}$?$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{n}$得到P，Q的坐标之间的关系，从而写出函数的解析式即可求出答案．

解答 解：P（x₀，y₀），Q（x，f（x）），
∵$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{m}$?$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{n}$=（x₀+$\frac{1}{2}$y₀）+（0，1）=（x₀，$\frac{1}{2}$y₀+1），
∴（x，f（x））=（x₀，$\frac{1}{2}$y₀+1），
∴x₀=x，f（x）=$\frac{1}{2}$y₀+1
∴y₀=2f（x）-2，
∵P（x₀，y₀）在$y=sin\frac{x}{2}$的上，
∴2f（x）-2=sin$\frac{x}{2}$
∴f（x）=$\frac{1}{2}$sin$\frac{x}{2}$+1，
∴f（x）_max=$\frac{3}{2}$，
T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，
故选：D

点评 本题主要考查三角函数的最值和最小正周期的求法，本题的关键是求出函数的解析式，属于中档题