第96届全国糖酒商品交易会于2017年3月23日至25日在四川举办．交易会开始前.展馆附近一家川菜特色餐厅为了研究参会人数与餐厅所需原材料数量的关系.查阅了最近5次交易会的参会人数x与餐厅所用原材料数量t(袋).得到如下数据:第一次第二次第三次第四次第五次参会人数x11981012原材料t(袋)2823202529(Ⅰ)请根据所给五组数据.求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．第96届（春季）全国糖酒商品交易会于2017年3月23日至25日在四川举办．交易会开始前，展馆附近一家川菜特色餐厅为了研究参会人数与餐厅所需原材料数量的关系，查阅了最近5次交易会的参会人数x（万人）与餐厅所用原材料数量t（袋），得到如下数据：

	第一次	第二次	第三次	第四次	第五次
参会人数x（万人）	11	9	8	10	12
原材料t（袋）	28	23	20	25	29

（Ⅰ）请根据所给五组数据，求出t关于x的线性回归方程$\hat t=\hat bx+\hat a$；
（Ⅱ）已知购买原材料的费用C（元）与数量t（袋）的关系为$C=\left\{\begin{array}{l}300t+20，（{0＜t＜35，t∈N}）\\ 290t，（{t≥35，t∈N}）\end{array}\right.$投入使用的每袋原材料相应的销售收入为600元，多余的原材料只能无偿返还．若餐厅原材料现恰好用完，据悉本次交易会大约有14万人参加，根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L=销售收入-原材料费用）．
（参考公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$）

分析（1）由题意求出$\overline{x}$，$\overline{y}$，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}$，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$，代入公式求值，从而得到回归直线方程；
（2）由（Ⅰ）中求出的线性回归方程，当x=14时，$\overline{t}$，根据分段函数C讨论其利润．

解答解：（Ⅰ）由数据，求得$\overline x=\frac{9+11+12+10+8}{5}=10$，$\overline t=\frac{23+28+29+25+20}{5}=25$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{t_i}=11×2+9×23}+8×20+$10×25+12×29=1273，
$\sum_{i=1}^5{x_i^2={{11}^2}+{9^2}+{8^2}+}$10²+12²=510，
$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{t_i}-n\overline x\overline t}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$=$\frac{1273-5×10×25}{{510-5×{{10}^2}}}=2.3$，
$\hat a=\overline t-$$\hat b•\overline x=2$，
∴t关于x的线性回归方程为$\hat t=2.3x+2$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求出的线性回归方程，当x=14时，$\hat t=34.2$，
即预计需要原材料34.2袋，
∵$C=\left\{\begin{array}{l}300t+20\\ 290t\end{array}\right.$$\begin{array}{l}（{0＜t＜35，t∈N}），\\（{t≥35，t∈N}），\end{array}$
∴，若t＜35，利润L=600t-（300t+20）=300t-20，
当t=34时，利润L_max=300×34-20=10180元；
若t≥35，利润L=600×34.2-290t=20520-290t，
当t=35时，利润L_max=20520-290×35=10370元；
综上所述，该餐厅应购买35袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是10370元．