Question

11．已知f（x）=cos²x-sin²x+$\frac{1}{2}$，x∈（0，π）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）锐角三角形△ABC中f（A）=0，a=$\sqrt{19}$，b=5．求△ABC的面积S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式化简f（x），根据正弦函数的性质可得f（x）的单调递增区间．
（2）根据f（A）=0，求出角A的大小，即可求解△ABC的面积S_△ABC．

解答 解：f（x）=cos²x-sin²x+$\frac{1}{2}$，
化简可得：f（x）=cos2x+$\frac{1}{2}$．
令-π+2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，
得：$-\frac{π}{2}+kπ$≤x≤kπ．
∵x∈（0，π）．
∴（x）的单调递增区间为[$\frac{π}{2}$，π）．
（2）∵f（A）=0，即cos2A+$\frac{1}{2}$=0．
可得：cos2A=-$\frac{1}{2}$．
∵△ABC是锐角三角形，
∴A=$\frac{π}{3}$．
由余弦定理：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
得：5c=6+c²
∴c=2或3，
当c=2时，△ABC时钝角三角形．
∴C=2（舍去）
那么：△ABC的面积S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×5×3=\frac{15\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了三角函数的化解能力和性质的运用以及余弦定理的计算．属于基础题．注意锐角三角形这条件．