Question

9．已知0＜α＜$\frac{π}{2}$，cos（2π-α）-sin（π-α）=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$
（1）求sinα+cosα的值；
（2）求$\frac{{{{cos}^2}（\frac{3π}{2}+α）+2cosαcos（\frac{π}{2}-α）}}{{1+{{sin}^2}（\frac{π}{2}-α）}}$的值．

Answer 1

分析 （1）原式化简，利用二倍角的正弦函数公式可求${（{cosα+sinα}）^2}=\frac{9}{5}$，结合范围0＜α＜$\frac{π}{2}$，即可得解sinα+cosα的值．
（2）由（1）即可解得cosα，sinα的值，利用诱导公式化简所求即可计算得解．

解答 解：（1）原式化简：$cosα-sinα=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
平方得：$1-2cosαsinα=\frac{1}{5}$$⇒2cosαsinα=\frac{4}{5}$$⇒1+2cosαsinα=\frac{9}{5}$，
因为：0＜α＜$\frac{π}{2}$，
所以：cosα+sinα＞0
因为：${（{cosα+sinα}）^2}=\frac{9}{5}$，
所以：$cosα+sinα=\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$．
（2）∵由$cosα-sinα=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，$cosα+sinα=\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$，
可得：cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴原式化简得$\frac{{{{sin}^2}α+2cosαsinα}}{{1+{{cos}^2}α}}=\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查了诱导公式，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．