Question

一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为4-x万元，且每万件国家给予补助2e-

2elnx

x

-

1

x

万元．（e为自然对数的底数，e是一个常数）
（Ⅰ）写出月利润f（x）（万元）关于月产量x（万件）的函数解析式
（Ⅱ）当月产量在[1，2e]万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生成量值（万件）．（注：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本）

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本，即可列出函数关系式；
（2）利用导数判断函数的单调性，进而求出函数的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由于：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本，可得

f(x)=x(4-x+2e- 2elnx x - 1 x -2)-1 =-x2+2(e+1)x-2elnx-2(x＞0)

（Ⅱ）f（x）=-x²+2（e+1）x-2elnx-2的定义域为[1，2e]，
且f′(x)=-2x+2(e+1)-

2e

x

=-

2(x-1)(x-e)

x

(x＞0)
列表如下：

x	（1，e）	e	（e，2e]
f'（x）	+	0	-
f（x）	增	极大值f（e）	减

由上表得：f（x）=-x²+2（e+1）x-2elnx-2在定义域[1，2e]上的最大值为f（e）．
且f（e）=e²-2．即：月生产量在[1，2e]万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为f（e）=e²-2，此时的月生产量值为e（万件）．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值等知识，考查学生利用导数解决实际问题的能力及运算求解能力，属于难题．