Question

13．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．
（1）求证：DE∥平面PBC；
（2）求PB与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取PB中点F，连EF，CF，通过证明四边形DEFC是平行四边形得出DE∥CF，故而DE∥平面PBC；
（2）取AD的中点O，连BO，则PO⊥平面ABCD，故而∠PBO为所求的线面角，利用勾股定理计算PB，OP即可得出sin∠PBO．

解答 （1）证明：取PB中点F，连EF，CF，
∵E是PA的中点，F是PB的中点，
∴EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB，
∵CD∥AB，CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴EF∥CD，EF=CD，
∴四边形DEFC为平行四边形，
∴DE∥CF，又DE?平面PBC，CF?平面PBC，
∴DE∥平面PBC．
（2）解：取AD的中点O，连BO，
∵侧面PAD是边长为2的等边三角形，
∴PO⊥AD，
又∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PO⊥底面ABCD，
∴∠PBO就是PB与平面ABCD所成角，
∵在直角△PBO中，$PO=\sqrt{3}$，$BO=\sqrt{17}$，$PB=2\sqrt{5}$，
∴sin∠PBO=$\frac{PO}{PB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{10}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面角的计算，属于中档题．