Question

8．在△ABC中，内角A，B，C满足$2\sqrt{3}sinAsinB=5sinC$且$cosB=\frac{11}{14}$．
（1）求角A的大小；
（2）若内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=14，求边BC上的中线AD的长．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，代入已知等式可得3sinA=7sinC，由三角函数恒等变换的应用可求tanA，结合范围0＜A＜π，可求A的值．
（2）由（1）可求sinA，sinC，由正弦定理解得c，b的值，进而在△ABD中，由余弦定理可求AD的值．

解答 解：（1）在△ABC中，因为$cosB=\frac{11}{14}$，
所以$sinB=\frac{{5\sqrt{3}}}{14}$．
代入$2\sqrt{3}sinAsinB=5sinC$，化简可得3sinA=7sinC．
因为A+B+C=π，
所以sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
所以3sinA=7sinAcosB+7cosAsinB，化简得$tanA=-\sqrt{3}$．
因为0＜A＜π，
所以A=$\frac{2π}{3}$．
（2）因为$A=\frac{2π}{3}$，
所以$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，sinC=\frac{{3\sqrt{3}}}{14}$．
在△ABC中，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，且a=14，
得：c=6，b=10，
在△ABD中，由余弦定理得：$A{D^2}=A{B^2}+B{D^2}-2AB×BD×cosB=36+49-2×6×7×\frac{11}{14}=19$，
所以：$AD=\sqrt{19}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．