Question

1．已知抛物线$\left\{\begin{array}{l}{x=4{t}^{2}}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t为参数），过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A、B两点（A在第一象限内），|AF|=3|FB|，过AB的中点且垂于l的直线与x轴交于点G，则△ABG的面积为$\frac{32\sqrt{3}}{9}$．

Answer 1

分析 抛物线$\left\{\begin{array}{l}{x=4{t}^{2}}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数化为：y²=4x．设直线l的方程为：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与抛物线方程联立化为：k²x²-（4+2k²）x+k²=0，利用根与系数的关系及其中点坐标公式可得线段AB的中点M$（1+\frac{2}{{k}^{2}}，\frac{2}{k}）$．由|AF|=3|FB|，可得$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，与根与系数的关系联立可得：k²=3，取k=$\sqrt{3}$．M$（\frac{5}{3}，\frac{2}{\sqrt{3}}）$，过AB的中点且垂于l的直线方程为：y-$\frac{2}{\sqrt{3}}$=-$\frac{1}{\sqrt{3}}$（x-$\frac{5}{3}$），可得G$（\frac{11}{3}，0）$，求出点G到直线l的距离d．|AB|=$2\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$可得△ABG的面积S=$\frac{1}{2}$•d•|AB|．

解答 解：抛物线$\left\{\begin{array}{l}{x=4{t}^{2}}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数化为：y²=4x．
设直线l的方程为：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为：k²x²-（4+2k²）x+k²=0，
△＞0，
∴x₁+x₂=$2+\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，（*）
可得线段AB的中点M$（1+\frac{2}{{k}^{2}}，\frac{2}{k}）$．
∵|AF|=3|FB|，∴$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，
∴1-x₁=3（x₂-1），
与（*）联立可得：k²=3，取k=$\sqrt{3}$．
∴M$（\frac{5}{3}，\frac{2}{\sqrt{3}}）$，
∴过AB的中点且垂于l的直线方程为：y-$\frac{2}{\sqrt{3}}$=-$\frac{1}{\sqrt{3}}$（x-$\frac{5}{3}$），
令y=0，可得G$（\frac{11}{3}，0）$，
∴点G到直线l的距离d=$\frac{|\sqrt{3}×\frac{11}{3}-0-\sqrt{3}|}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
|AB|=$2\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$2\sqrt{（2+\frac{4}{3}）^{2}-4}$=$\frac{16}{3}$．
∴△ABG的面积S=$\frac{1}{2}$•d•|AB|=$\frac{1}{2}×$$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×$\frac{16}{3}$=$\frac{32\sqrt{3}}{9}$．
故答案为：$\frac{32\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题考查了抛物线的参数方程、直线与抛物线相交弦长问题、点到直线的距离公式、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．