Question

4．已知x=1，x=5是函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）两个相邻的极值点，且f（x）在x=2处的导数f′（2）＜0，则f（0）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根据已知可得函数f（x）的周期T=8，且在[1，5]上为减函数，进而求出φ=$\frac{π}{4}$，可得答案．

解答 解：∵x=1，x=5是函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）两个相邻的极值点，
∴$\frac{T}{2}$=5-1=4，
∴T=8，
∵ω＞0
∴ω=$\frac{π}{4}$，
∵f（x）在x=2处的导数f′（2）＜0，
∴函数f（x）在[1，5]上为减函数，
故$\frac{π}{4}$+φ=2kπ，k∈Z，φ=2kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∴f（0）=cos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查的知识点是函数的图象，函数的周期性，函数的单调性，函数求值，难度中档．