题目内容

7．已知双曲线$Γ：{x^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；
（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；
（2）若b=1，点P的坐标为（-1，0），且$\overrightarrow{NP'}=\frac{3}{2}\overrightarrow{P'Q}$，求k的值；
（3）若m=2，求n关于b的表达式．

分析 （1）由双曲线$Γ：{x^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（b＞0），点（2，0）是Γ的一个焦点，求出c=2，a=1，由此能求出Γ的标准方程，从而能求出Γ的渐近线方程．
（2）双曲线Γ为：x2-y2=1，由定比分点坐标公式，结合已知条件能求出k的值．
（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），kPQ=k0，则${P}^{'}（-{{x}_{1}，{y}_{1}），{l}_{PQ}={k}_{0}x+n}^{\;}$，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（b2-k2）x2-4kx-4-b2=0，由$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{0}x+n}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（${b}^{2}-{{k}_{0}}^{2}$）x2-2k0nx-n2-b2=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出n关于b的表达式．

解答 解：（1）∵双曲线$Γ：{x^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（b＞0），点（2，0）是Γ的一个焦点，
∴c=2，a=1，∴b2=c2-a2=4-1=3，
∴Γ的标准方程为：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
Γ的渐近线方程为$y=±\sqrt{3}x$．
（2）∵b=1，∴双曲线Γ为：x2-y2=1，P（-1，0），P′（1，0），
∵$\overrightarrow{N{P}^{'}}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{{P}^{'}Q}$，设Q（x2，y2），
则有定比分点坐标公式，得：
$\left\{\begin{array}{l}{1=\frac{0+\frac{3}{2}{x}_{2}}{1+\frac{3}{2}}}\\{0=\frac{n+\frac{3}{2}{y}_{2}}{1+\frac{3}{2}}}\end{array}\right.$，解得${x}_{2}=\frac{5}{3}$，∵${{x}_{2}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}=1$，∴${y}_{2}=±\frac{4}{3}$，
∴$k=\frac{{y}_{2}-0}{{x}_{2}+1}$=$±\frac{1}{2}$．
（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），kPQ=k0，
则${P}^{'}（-{{x}_{1}，{y}_{1}），{l}_{PQ}={k}_{0}x+n}^{\;}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（b2-k2）x2-4kx-4-b2=0，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4k}{{b}^{2}-{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{-4-{b}^{2}}{{b}^{2}-{k}^{2}}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{0}x+n}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（${b}^{2}-{{k}_{0}}^{2}$）x2-2k0nx-n2-b2=0，
-x1+x2=$\frac{2{k}_{0}n}{{b}^{2}-{{k}_{0}}^{2}}$，-x1x2=$\frac{-{n}^{2}-{b}^{2}}{{b}^{2}-{{k}_{0}}^{2}}$，
∴x1x2=$\frac{-4-{b}^{2}}{{b}^{2}-{k}^{2}}$=$\frac{{n}^{2}+{b}^{2}}{{b}^{2}-{{k}_{0}}^{2}}$，即$\frac{{b}^{2}-{{k}_{0}}^{2}}{{b}^{2}-{k}^{2}}$，即$\frac{{b}^{2}-{{k}_{0}}^{2}}{{b}^{2}-{k}^{2}}$=$\frac{{n}^{2}+{b}^{2}}{-4-{b}^{2}}$，
$\frac{k}{{k}_{0}}$=$\frac{\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}}{\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{2k}{{k}_{0}n}•\frac{{b}^{2}-{{k}_{0}}^{2}}{{b}^{2}-{k}^{2}}$=$\frac{2k}{{k}_{0}n}•\frac{{n}^{2}+{b}^{2}}{-4-{b}^{2}}$，
化简，得2n2+n（4+b2）+2b2=0，
∴n=-2或n=$\frac{{b}^{2}}{-2}$，
当n=-2，由$\frac{{b}^{2}-{{k}_{0}}^{2}}{{b}^{2}-{k}^{2}}$=$\frac{{n}^{2}+{b}^{2}}{-4-{b}^{2}}$，得2b2=k2+k02，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{0}x-2}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{{k}_{0}-k}}\\{y=\frac{2k+2{k}_{0}}{{k}_{0}-k}}\end{array}\right.$，
即Q（$\frac{4}{{k}_{0}-k}$，$\frac{2k+2{k}_{0}}{{k}_{0}-k}$），代入x2-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，化简，得：
${b}^{2}-（4+k{k}_{0}）{b}^{2}+4k{k}_{0}=0$，解得b2=4或b2=kk0，
当b2=4时，满足n=$\frac{{b}^{2}}{-2}$，
当b2=kk0时，由2b2=k2+k02，得k=k0（舍去），
综上，得n=$\frac{{b}^{2}}{-2}$．

点评 本题考查双曲线的渐近线的求法，考查直线的斜率的求法，考查n关于b的表达式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线、直线、韦达定理的合理运用．

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