Question

17．为了整顿食品的安全卫生，食品监督部门对某食品厂生产甲、乙两种食品进行了检测调研，检测某种有害微量元素的含量，随机在两种食品中各抽取了10个批次的食品，每个批次各随机地抽取了一件，下表是测量数据的茎叶图（单位：毫克）．

规定：当食品中的有害微量元素的含量在[0，10]时为一等品，在[10，20]为二等品，20以上为劣质品．
（1）用分层抽样的方法在两组数据中各抽取5个数据，再分别从这5个数据中各选取2个，求甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率；
（2）每生产一件一等品盈利50元，二等品盈利20元，劣质品亏损20元，根据上表统计得到甲、乙两种食品为一等品、二等品、劣质品的频率，分别估计这两种食品为一等品、二等品、劣质品的概率，若分别从甲、乙食品中各抽取1件，设这两件食品给该厂带来的盈利为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）从甲中抽取的5个数据中，一等品有$4×\frac{5}{10}=2$个，非一等品有3个，从乙中抽取5个数据中，一等品有$6×\frac{5}{10}=3$个，非一等品有2个，利用互斥事件与相互对立事件的概率计算公式可得：甲的 一等品数与乙 的一等品数相等的概率．
（2）X可取-40，0，30，40，70，100．利用互斥事件与相互对立事件的概率计算公式、数学期望计算公式即可得出．

解答 解：（1）从甲中抽取的5个数据中，一等品有$4×\frac{5}{10}=2$个，非一等品有3个，
从乙中抽取5个数据中，一等品有$6×\frac{5}{10}=3$个，非一等品有2个，
∴甲的 一等品数与乙 的一等品数相等的概率为：$P=\frac{C_3^2C_2^2+C_2^1C_3^1C_3^1C_2^1+C_2^2C_3^2}{C_5^2C_5^2}=\frac{21}{50}$．
（2）X可取-40，0，30，40，70，100.$P（X=-40）=\frac{1}{5}×\frac{1}{5}=\frac{1}{25}$，$P（X=0）=\frac{1}{5}×\frac{1}{5}+\frac{2}{5}×\frac{1}{5}=\frac{3}{25}$，$P（X=30）=\frac{2}{5}×\frac{1}{5}+\frac{1}{5}×\frac{3}{5}=\frac{1}{5}$，$P（X=40）=\frac{2}{5}×\frac{1}{5}=\frac{2}{25}$，$P（X=70）=\frac{2}{5}×\frac{1}{5}+\frac{2}{5}×\frac{3}{5}=\frac{8}{25}$，$P（X=100）=\frac{2}{5}×\frac{3}{5}=\frac{6}{25}$．
∴X的分布列为

X	-40	0	30	40	70	100
P	$\frac{1}{25}$	$\frac{3}{25}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{25}$	$\frac{8}{25}$	$\frac{6}{25}$

$E（X）=-40×\frac{1}{25}+0×\frac{3}{25}+30×\frac{1}{5}+40×\frac{2}{25}+70×\frac{8}{25}+100×\frac{6}{25}=54$．

点评 本题考查了互斥事件与相互对立事件的概率计算公式、数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．