Question

圆柱的高为4cm，底面半径为3cm，上底面一条半径OA与下底面一条半径O′B′成60°角，求：
（1）直线AB′与圆柱的轴OO′所成的角（用反三角函数值表示）；
（2）直线AB′与平面OAA′O′所成角的大小；
（3）点A沿圆柱侧面到达点B′的最短距离．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,多面体和旋转体表面上的最短距离问题,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由OO′∥AA′，得∠B′AA′是所求异面直线AB′与OO′所成角或其补角，由此能求出异面直线AB′与OO′所成角的大小．
（2）过B′作B′H⊥O′A′于点H，由已知得∠B′AH即为所求的线面角，由此能求出直线AB′与平面OAA′O′所成角的大小．
（3）将圆柱的侧面沿过B ′  的母线展开，与AA′构成以π为长4为宽的矩形，|

AB′

|_min即为此矩形的对角线长，由此能求出点A沿圆柱侧面到达点B′的最短距离．

解答： 解：（1）∵OO′∥AA′，
∴∠B′AA′是所求异面直线AB′与OO′所成角或其补角，
由题意知△OA′B′为等边三角形，且AA′⊥A′B′，
∴|A′B′|=3，|AA′|=4，
即∠B′AA′=arctan

3

4

，
∴异面直线AB′与OO′所成角的大小为arctan

3

4

．
（2）过B′作B′H⊥O′A′与点H，
则B′H⊥O′A′，B′H⊥AA′，
∴B′H⊥平面OAA′O′，
∴AH为直线AB′在平面OAA′O′上的射影，
∴∠B′AH即为所求的线面角，
∵B′H=

3 3

2

，AA′=5，
∴∠B′AH=arcsin

3 3

10

，
∴直线AB′与平面OAA′O′所成角的大小为arcsin

3 3

10

．
（3）将圆柱的侧面沿过B ′  的母线展开，
与AA′构成以π为长4为宽的矩形，
|

AB′

|_min即为此矩形的对角线长，
∴|

AB′

|_min=

16+π2

，
故点A沿圆柱侧面到达点B′的最短距离为

16+π2

．

点评：本题考查异面直线所成角的求法，考查直线与平面所成的角的求法，考查点A沿圆柱侧面到达点B′的最短距离的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．