Question

已知sin（ α+

π

6

）=

1

3

，且α∈（0，π），则tanα=

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：由sin（ α+

π

6

）=

1

3

，且α∈（0，π），可得cos（ α+

π

6

）=-

2 2

3

，利用两角差的正弦和余弦公式，可得sinα=

3 +2 2

6

，cosα=

-3 6 +1

6

．进而根据tanα=

sinα

cosα

可得答案．

解答： 解：∵sin（ α+

π

6

）=

1

3

，且α∈（0，π），
∴sinα＞0，
则cos（ α+

π

6

）=±

1-sin2(α+ π 6 )

=±

2 2

3

，
若cos（ α+

π

6

）=

2 2

3

，
则sinα=sin[（ α+

π

6

）-

π

6

]=

1

3

•

3

2

-

2 2

3

×

1

2

＜0，不满足条件；
若cos（ α+

π

6

）=-

2 2

3

，
则sinα=sin[（ α+

π

6

）-

π

6

]=

1

3

•

3

2

+

2 2

3

×

1

2

=

3 +2 2

6

，
cosα=cos[（ α+

π

6

）-

π

6

]=-

2 2

3

•

3

2

+

1

3

•×

1

2

=

-3 6 +1

6

．
故tanα=

sinα

cosα

=

3 +2 2 6

-3 6 +1 6

=-

5 3 +11 2

53

，
故答案为：

5 3 +11 2

53

点评：本题考查的知识点是两角和与差的正弦函数和余弦函数，同角三角函数的基本关系，解答时要注意α不可能为锐角．