题目内容
设x、y为实数，集合A={（x，y）|y2-x-1=0}，B={（x，y）|16x2+8x-2y+5=0}，C={（x，y）|y=kx+b}，问是否存在自然数k，b使（A∪B）∩C=∅？
考点：集合关系中的参数取值问题,交、并、补集的混合运算
专题：集合
分析：将（A∪B）∩C转化为（A∩C）∪（B∩C）=φ，即有A∩C=φ且B∩C=φ．转化成对应的方程组无解的条件．
解答：
解：若（A∪B）∩C=∅，则（A∩C）∪（B∩C）=φ，即有A∩C=φ且B∩C=φ．
即方程组
①与
②都无解，
由①得k2x2+（2kb-1）x+b2-1=0，
若k=0，则方程为x=1-b2，有解，不满足条件，
若k≠0，则判别式△=（2kb-1）2-4k2（b2-1）＜0，
即1-4kb+4k2＜0，
∴b＞
，
∵k，b是自然数，∴b＞1，
由②得16x2+8x-2（kx+b）+5=0，
即16x2+（8-2k）x+5-2b=0，
判别式△=（8-2k）2-4×16（5-2b）＜0，
即k2-8k+32b-64＜0，
即b＜
=
≤
=
，
∵b是自然数，
∴b=2，此时k=1，
故存在b=2，k=1使得使（A∪B）∩C=∅．
即方程组
|
|
由①得k2x2+（2kb-1）x+b2-1=0，
若k=0，则方程为x=1-b2，有解，不满足条件，
若k≠0，则判别式△=（2kb-1）2-4k2（b2-1）＜0，
即1-4kb+4k2＜0，
∴b＞
| 1+4k2 |
| 4k |
∵k，b是自然数，∴b＞1，
由②得16x2+8x-2（kx+b）+5=0，
即16x2+（8-2k）x+5-2b=0，
判别式△=（8-2k）2-4×16（5-2b）＜0，
即k2-8k+32b-64＜0，
即b＜
| -k2+8k+64 |
| 32 |
| -(k-4)2+80 |
| 32 |
| 80 |
| 32 |
| 5 |
| 2 |
∵b是自然数，
∴b=2，此时k=1，
故存在b=2，k=1使得使（A∪B）∩C=∅．
点评：本题考查集合间的基本关系及运算．方程解的情况判断．本题转化成对应的方程组无解的条件是关键．
练习册系列答案
相关题目
如果函数f（x）=sin2x+acos2x的图象关于点（
，0）成中心对称，那么a=（ ）
| π |
| 8 |
A、
| ||
B、-
| ||
| C、1 | ||
| D、-1 |
双曲线与椭圆
+
=1有相同的焦点，且离心率为
，则双曲线方程为（ ）
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 64 |
| 2 |
| A、x2-y2=96 |
| B、y2-x2=100 |
| C、x2-y2=80 |
| D、y2-x2=24 |