Question

已知椭圆

x2

9

+

y2

5

=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是椭圆上的一点，且∠F₁PF₂=60°，则△PF₁F₂的面积是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,解三角形,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：依题意，在△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°，|F₁P|+|PF₂|=2a=6，|F₁F₂|=4，利用余弦定理可求得|F₁P|•|PF₂|的值，从而可求得△PF₁F₂的面积．

解答： 解：∵椭圆的方程为

x2

9

+

y2

5

=1，
∴a=3，b=

5

，c=2．
又∵P为椭圆上一点，∠F₁PF₂=60°，F₁、F₂为左、右焦点，
∴|F₁P|+|PF₂|=2a=6，|F₁F₂|=4，
∴|F₁F₂|²=（|PF₁|+|PF₂|）²-2|F₁P|•|PF₂|-2|F₁P|•|PF₂|cos60°
=36-3|F₁P|•|PF₂|=16，
∴|F₁P|•|PF₂|=

20

3

，
∴S△PF1F2=

1

2

|F₁P|•|PF₂|sin60°
=

1

2

×

20

3

×

3

2

=

5 3

3

．
故答案为：

5 3

3

．

点评：本题考查椭圆的简单性质，考查余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题．