Question

12．在正三棱锥V-ABC内，有一个半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积的最小时，其底面边长为$6\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由于正三棱锥的侧面为全等的等腰三角形，故侧面与球的切点在棱锥的斜高上，利用等积法得出棱锥的高与棱锥底面边长的关系，得出棱锥的体积关于高h的函数V（h），利用导数与函数的最值得关系计算V（h）的极小值点，然后转化为底面边长得答案．

解答 解：设△ABC的中心为O，取AB中点D，连结OD，VD，VO，
设OD=a，VO=h，则VD=$\sqrt{O{D}^{2}+V{O}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+{h}^{2}}$．
AB=2AD=2$\sqrt{3}$a．
过O作OE⊥VD，则OE=2，
∴S_△VOD=$\frac{1}{2}$OD•VO=$\frac{1}{2}$VD•OE，
∴ah=2$\sqrt{{a}^{2}+{h}^{2}}$，整理得a²=$\sqrt{\frac{4{h}^{2}}{{h}^{2}-4}}$（h＞2）．
∴V（h）=$\frac{1}{3}$S_△ABC•h=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×$（2\sqrt{3}）^{2}$a²h=$\sqrt{3}$a²h=$\frac{4\sqrt{3}{h}^{3}}{{h}^{2}-4}$．
∴V′（h）=4$\sqrt{3}$×$\frac{3{h}^{2}（{h}^{2}-4）-2{h}^{4}}{（{h}^{2}-4）^{2}}$=4$\sqrt{3}$×$\frac{{h}^{4}-12{h}^{2}}{（{h}^{2}-4）^{2}}$．
令V′（h）=0，得h²-12=0，解得h=2$\sqrt{3}$．
当2＜h＜2$\sqrt{3}$时，V′（h）＜0，当h＞2$\sqrt{3}$时，V′（h）＞0，
∴当h=2$\sqrt{3}$，即a=$\sqrt{6}$，也就是AB=$\frac{6}{\sqrt{3}}a=6\sqrt{2}$时，V（h）取得最小值．
故答案为：$6\sqrt{2}$．

点评 本题考查了球与外切多面体的关系，棱锥的体积计算，导数与函数的最值，属于中档题．