Question

15．某企业生产A、B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）

（1）分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式；
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？

Answer 1

分析 （1）根据函数的模型设出函数解析式，从两个图中分别找出特殊点坐标，代入函数解析式求出两个函数解析式．
（2）将企业获利表示成对产品B投资x的函数；将函数中的$\sqrt{10-x}$换元为t，将函数转化为二次函数，求出对称轴，求出函数的最值．

解答 解：（1）设y=k₁x，由0.25=k₁x₁得：k₁=0.25
设y=k₂$\sqrt{x}$，由2.5=k₂$\sqrt{4}$得k₂=1.25
∴所求函数为y=0.25x及y=1.25$\sqrt{x}$…（4分）
（2）设投入A产品x万元，则投入B产品为10-x万元，企业获得的利润为y=0.25x+1.25$\sqrt{10-x}$…（6分）
令$\sqrt{10-x}$=t（0≤t≤10）则
y=$\frac{1}{4}$（10-t²）+$\frac{5}{4}$t=$\frac{1}{4}$（-t²+5t+10）
=$\frac{1}{4}$[-（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{65}{4}$]…（8分）
当t=$\frac{5}{2}$时，y取得最大值$\frac{65}{16}$万元，此时x=3.75万元
故对A、B两种产品分别投资3.75万元、6.25万元时，企业可获得最大利润$\frac{65}{16}$万元．…（10分）

点评 本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用待定系数法求函数的解析式、考查换元法注意新变量的范围、二次函数的最值与对称轴有关．