Question

7．现有如下投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：
（1）投资股市：

投资结果	获利40%	不赔不赚	亏损20%
概  率	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$

（2）购买基金：

投资结果	获利20%	不赔不赚	亏损10%
概  率	p	$\frac{1}{3}$	q

（Ⅰ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于$\frac{4}{5}$，求p的取值范围；
（Ⅱ）丙要将家中闲置的20万元钱进行投资，决定在“投资股市”、“购买基金”，或“等额同时投资股市和购买基金”这三种方案中选择一种，已知$p=\frac{1}{2}$，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？（其中第三方案须考察两项获利之和的随机变量Z），给出结果并说明理由．

Answer 1

分析 （I）设出各个事件后得C=A$\overline{B}$∪$\overline{A}$B∪AB，根据P（C）=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}P$$＞\frac{4}{5}$，P+$\frac{1}{3}+q$=1，从而求出P的范围；
（II）确定两种情况的随机变量，根据分布列得出相应的未知量，求解数学期望得出平均的利润问题，比较即可．

解答 （I）解：记事件A为“甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事
件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，
则C=A$\overline{B}$∪$\overline{A}$B∪AB，且A，B独立．
由上表可知，P（A）=$\frac{1}{2}$，P（B）=p．
所以P（C）=P（A$\overline{B}$）+P（$\overline{A}$B）+P（AB）=$\frac{1}{2}×$（1-P）+$\frac{1}{2}$P$+\frac{1}{2}$P=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}P$$＞\frac{4}{5}$
P$＞\frac{3}{5}$．又因为P$+\frac{1}{3}$+q=1，q≥0，
所以p$≤\frac{2}{3}$．
所以$\frac{3}{5}$$＜p≤\frac{2}{3}$．
（II）（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额（单位：万元），
所以随机变量X的分布列为：

X	8	0	-4
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$

则E（X）=8×$\frac{1}{2}$$+0×\frac{1}{8}$+（-4）×$\frac{3}{8}$=$\frac{5}{2}$．
假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额（单位：万元），
所以随机变量Y的分布列为：

Y	4	0	-2
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$

则E（Y）=4×$\frac{1}{2}$$+0×\frac{1}{3}$$+（-2）×\frac{1}{6}$=$\frac{5}{3}$．
因为EX＞EY，
所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大

点评 本题考查了互斥事件的概率问题，考查了期望问题，考察了学生的实际问题的分析解决能力，属于中档题，理解题意是解题的关键．