题目内容

15.已知函数y=f(x)在定义域$({-\frac{3}{2},3})$上可导,其图象如图,记y=f(x)的导函数y=f′(x),则不等式xf′(x)≤0的解集是[0,1]∪(-$\frac{3}{2}$,-$\frac{1}{2}$].

分析 由图象得到函数的单调区间,得到函数在个区间上导函数的符号,求出不等式的解.

解答 解:由f(x)的图象知x∈(-$\frac{3}{2}$,-$\frac{1}{2}$)时,递增,f′(x)>0;xf′(x)≤0?x≤0,
∴x∈(-$\frac{3}{2}$,-$\frac{1}{2}$)
x∈(-$\frac{1}{2}$,1)时,f(x)递减,f′(x)<0,∴xf′(x)≤0?x≥0,∴x∈[0,1]
x∈(1,3)时,f(x)递增,f′(x)>0,∴xf′(x)≤0?x≤0无解
故答案为:[0,1]∪(-$\frac{3}{2}$,-$\frac{1}{2}$].

点评 本题考查函数的单调性与导函数符号的关系:f′(x)>0则f(x)递增;f′(x)>0则f(x)递减.考查数形结合的数学数学方法.

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