Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂+a₄=66，a₃+a₅=60，且满足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*），若对任意的n∈N^*，都有S_n≤S_k，则k=

 

．

Answer 1

考点：等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：先由a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*），得出数列{a_n}是等差数列；
再求出公差d与首项a₁，写出通项a_n，判断a_n≥0时，S_n取得最大值，从而求出k的值．

解答： 解：数列{a_n}中，a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*），
∴a_n+2+a_n=2a_n+1，
∴数列{a_n}是等差数列；
又∵a₂+a₄=66，a₃+a₅=60，
∴

(a1+d)+(a1+3d)=66 (a1+2d)+(a1+4d)=60

解得公差d=-3，
首项a₁=39；
∴通项a_n=a₁+（n-1）d=39-3（n-1）=42-3n；
令a_n=0，解得n=13；
∴当n≤13时，a_n≥0，
当n＞14时，a_n＜0；
∴S_n的最大值是S₁₂或S₁₃，
∴对任意的n∈N^*，都有S_n≤S_k，则k=12或13．
故答案为：12或13．

点评：本题考查了等差数列的定义与性质的应用问题，也考查了等差数列的通项公式与前n项和的应用问题，是中档题目．