Question

已知f（x）=2sinxcosx+2cos²x
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的最大值及取得最大值的x值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由倍角公式化简可得函数解析式为f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，由三角函数的周期性及其求法即可求解．
（Ⅱ）由已知可得2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，根据正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的最大值及取得最大值的x值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
∴T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
∴当2x+

π

4

=

π

2

即有x=

π

8

时，f（x）_max=

2

+1，
当2x+

π

4

=

5π

4

即有x=

π

2

时，f（x）_min=1-

2

．

点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的最值，属于基础题．