Question

已知函数f（x）=

ex

x

-a（x²-2x-3），其中a为参数，且a∈R．
（Ⅰ）若a=-1，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，4]，都有f（x）≥0恒成立，求参数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求导，再根据导数和函数单调性的关系即可求出单调区间；
（Ⅱ）f（x）≥0恒成立，分离参数，得到当0＜x＜3时，a≥

ex

x3-2x2-3x

恒成立，当3＜x≤4时，a≤

ex

x3-2x2-3x

恒成立，构造函数g（x）=

ex

x3-2x2-3x

，分别求粗函数的最值，问题得以解决．

解答： 解（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=

ex

x

+（x²-2x-3），
∴f′（x）=

ex(x-1)

x2

+2x-2=（x-1）（

ex

x2

+2），
令f′（x）=0，解得x=1，
当f′（x）＞0时，即x＞1时，函数递增，
当f′（x）＜0时，即x＜1时，函数递减，
故函数f（x）在（-∞，1）上递减，在（1，+∞）递增；
（Ⅱ）∵f（x）≥0在∈（0，4]恒成立，
∴

ex

x

≥a（x²-2x-3）=a（x+1）（x-3），
当0＜x＜3时，a≥

ex

x3-2x2-3x

恒成立，当3＜x≤4时，a≤

ex

x3-2x2-3x

恒成立，
令g（x）=

ex

x3-2x2-3x

，
∴g′（x）=

ex(x-1)(x-2+ 7 )(x-2- 7 )

(x3-2x2-3x)2

，
令g′（x）=0，解得x=1，x=2-

7

＜0，（舍去），2+

7

＞4，（舍去）
∴g（x）在（0，1）递增，在（1，4）上递减，
∴当0＜x＜3时，g（x）_max=g（1）=-

e

4

，
当3＜x≤4时g（x）_min=g（4）=

e4

20

，
∴-

e

4

≤a≤

e4

20

，
故参数a的取值范围为[-

e

4

，

e4

20

]．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查导数的应用，求参数的范围，是一道中档题．