Question

11．已知AB是圆O的一条弦，过点A、B分别作AE⊥AB，BF⊥AB，交弧AB上任意一点T的切线于点E、F，OT交AB于点C，求证：
（Ⅰ）∠CBT=∠CFT；
（Ⅱ）CT²=AE•BF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明B，C，T，F四点共圆，可得∠CBT=∠CFT；
（Ⅱ）延长EF与ABM交于P，利用△PBF∽△PTC，△PAE∽△PTC，结合切割线定理，即可证明CT²=AE•BF．

解答 证明：（Ⅰ）∵OT⊥EF，BF⊥AB，∠CTF=∠CBF=90°，
∴∠CTF+∠CBF=180°，
∴B，C，T，F四点共圆，
∴∠CBT=∠CFT；
（Ⅱ）延长EF与ABM交于P，则△PBF∽△PTC，
∴$\frac{PB}{PT}$=$\frac{BF}{CT}$①，
△PAE∽△PTC，∴$\frac{PA}{PT}$=$\frac{AE}{CT}$②
①×②$\frac{PA•PB}{P{T}^{2}}$=$\frac{AE•BF}{C{T}^{2}}$
由切割线定理可得PT²=PA•PB，
∴CT²=AE•BF．

点评 本题考查切割线定理的运用，考查三角形相似的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．