Question

19．在平面直角坐标系中，O为原点，A（-1，0），B（0，$\sqrt{3}$），C（3，0），动点D满足|$\overrightarrow{CD}$|=1，
求（Ⅰ）动点D的轨迹．
（Ⅱ）求|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量模的计算方法，求出D的轨迹方程，即可求出动点D的轨迹．
（Ⅱ）|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$|=$\sqrt{（x-1）^{2}+（y+\sqrt{3}）^{2}}$，问题转化为圆（x-3）²+y²=1上的点与点P（1，-$\sqrt{3}$）间距离的最大值．

解答 解：（1）设D（x，y），由$\overrightarrow{CD}$=（x-3，y）及|$\overrightarrow{CD}$|=1
知（x-3）²+y²=1，（4分）
即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆． （6分）
（2）$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$=（-1，0）+（0，$\sqrt{3}$）+（x，y）=（x-1，y+$\sqrt{3}$），
∴|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$|=$\sqrt{（x-1）^{2}+（y+\sqrt{3}）^{2}}$．（8分）
问题转化为圆（x-3）²+y²=1上的点与点P（1，-$\sqrt{3}$）间距离的最大值．
∵圆心C（3，0）与点P（1，-$\sqrt{3}$）之间的距离为$\sqrt{（3-1）^{2}+（0+\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，（10分）
故|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$|的最大值为$\sqrt{7}$+1．（12分）

点评 本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．