Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²-2x．
（1）若曲线y=f（x）-g（x）在x=1与x=

1

2

处的切线相互平行，求a的值及切线斜率；
（2）若函数y=f（x）-g（x）在区间（

1

3

，1）上单调递减，求a的取值范围；
（3）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于P，Q两点，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N，证明：C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不可能平行．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）求函数y=f（x）-g（x）的导数，根据在x=1与x=

1

2

处的切线相互平行，得到导数相同，建立方程即可求a的值及切线斜率．
（2）要使函数y=f（x）-g（x）在区间（

1

3

，1）上单调递减，只要y'≤0恒成立即可求a的取值范围．
（3）利用反证法证明结论即可．

解答： （1）解：y=f（x）-g（x）=lnx-

1

2

ax²+2x，记h（x）=lnx-

1

2

ax²+2x，
则h′（x）=

1

x

-ax+2…（2分）
∵依题意h（x）在x=1与x=

1

2

处的切线互相平行，
∴h′（1）=h′（

1

2

），即-a+3=-

a

2

+4，解得a=-2…（3分）
此时切线斜率k=h'（1）=5…（4分）
（2）解：∵函数y=f（x）-g（x）在区间（

1

3

，1）上单调递减，
∴h′（x）≤0在区间（

1

3

，1）上恒成立；…（5分）
即

1

x

-ax+2≤0，即a≥

1

x2

+

2

x

在区间（

1

3

，1）上恒成立；…（6分）
∴a≥（

1

x2

+

2

x

）_max，
∵x∈（

1

3

，1），∴

1

x

∈（1，3），
∴

1

x2

+

2

x

=(

1

x

+1)2-1≤15，
∴a≥15，
即a的取值范围是[15，+∞）．…（8分）
（3）证明：f′（x）=

1

x

，g′（x）=ax-2，假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，
设点P、Q的坐标分别是（x₁，y₁），（x₂，y₂），x₁＞x₂，＞0，
则存在a使得f′（

x1+x2

2

）=g′（

x1+x2

2

），
即

2

x1+x2

=

a

2

（x₁+x₂）-2，…（9分）
∴

2(x1-x2)

x1+x2

=

a

2

（x₁+x₂）（x₁-x₂）-2（x₁-x₂）=y₁-y₂=lnx₁-lnx₂=ln

x1

x2

不妨设

x1

x2

=t＞1…（12分）
则方程

2(t-1)

t+1

=lnt存在大于1的实根，
设φ（t）=

2(t-1)

t+1

-lnt，则φ′（t）=

-(t-1)2

t(t+1)

＜0，
∴φ（t）在（1，+∞）单调递减，
∴φ（t）＜φ（1）=0这与存在t＞1使得φ（t）=0矛盾．
∴C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不可能平行．…（14分）

点评：本题主要考查导数的几何意义，考查导数是运算，以及利用导数研究函数的性质，综合性较强，运算量较大，考查学生的运算能力．