题目内容

为降低汽车尾气排放量，某工厂生产了甲、乙两种不同型号的节排器，现从甲、乙两种产品中各随机抽取100件进行产品性能质量评估，综合得分情况如下面的频率分布直方图所示：
产品等级划分及利润率如下表（
1
10
＜a＜
1
6
）：
综合得分k的范围产品等级产品利润率
K≥85一级品a
75≤k＜85二级品5a2
70≤k＜75三级品a2
（1）视直方图中频率为概率，则  
 ①如果从甲型号产品中按等级用分层抽样的方法抽取10件产品，然后从这10件产品中随机抽取3件，求至少2件一级品的概率；
 ②如果从乙型号产品中随机抽取3件，求二级品数E的分布列；
（2）从长期来看，投资哪种型号产品的平均利润率较大．
考点：频率分布直方图,众数、中位数、平均数
专题：概率与统计
分析：（1）①求出甲型号产品中在[75，85）与[85，95）的频率，再求用分层抽样法抽取10件产品以及从这10件产品中随机抽取3件，至少2件一级品的概率；
②计算从100件乙型号产品中随机抽取3件，二级品数E可能取值是什么，求出对应的概率与分布列；
（2）投资甲型号产品的利润y1，投资乙型号产品的利润y2，讨论a的值，比较y1与y2的大小，得出投资哪种型号产品利润大．
解答： 解：（1）①甲型号产品中在[75，85）的频率是（0.020+0.060）×5=0.4，
在[85，95）的频率是（0.080+0.040）×5=0.6，
用分层抽样的方法抽取10件产品时，二级品是0.4×10=4，一级品是0.6×10=6，
从这10件产品中随机抽取3件，至少2件一级品的概率是P=
C
2
6
•C
1
4
+C
3
6
C
3
10
=
60+20
120
2
3
；
②乙型号产品中在[75，85）的频率是（0.020+0.030）×5=0.25，
对应的频数是100×0.25=25，
从100件乙型号产品中随机抽取3件，二级品数E可能取值为0、1、2、3，
∴P（E=0）=
C
3
75
C
3
100
=
74×73
4×33×98
，
P（E=1）=
C
2
75
•C
1
25
C
3
100
=
75×74
4×33×98
，
P（E=2）=
C
1
75
•C
2
25
C
3
100
=
75×24
4×33×98
，
P（E=3）=
C
3
25
C
3
100
=
8×23
4×33×98
；
∴E的分布列为：
EE=0E=1E=2E=3
P
74×73
4×33×98
75×74
4×33×98
75×24
4×33×98
8×23
4×33×98
（2）投资甲型号产品，利润是y1=0.4•5a2+0.6•a=2a2+0.6a，
投资乙型号产品，利润是y2=0.010×5•a2+0.25•5a2+（1-0.05-0.25）•a=1.3a2+0.7a；
∴y1-y2=0.7a2-0.1a=
1
10
a（7a-1）；
∴当0＜a＜
1
7
时，y1-y2＜0，
当a=
1
7
时，y1-y2=0，
当a＞
1
7
时，y1-y2＞0；
又∵
1
10
＜a＜
1
6
，
∴当
1
10
＜a＜
1
7
时，y1＜y2，即投资乙型号产品利润大，
当a=
1
7
时，y1=y2，即投资甲、乙型号产品利润一样大，
当
1
6
＞a＞
1
7
时，y1＞y2，即投资甲型号产品利润大．
点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列的计算问题，产品利润的大小比较问题，是综合题目．
练习册系列答案
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2
10
，
2
5
5
．
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．
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 成绩
64589  
70x2451
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．
3．45+1.68-2
2．34×1．9-3
=
 
（精确到0.001）．
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n
|x|+m
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其中正确命题是
 
．

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