Question

设m，n∈R，若直线（m-1）x+（n-1）y+2=0与圆（x-1）²+（y-1）²=1相切，则m+n的取值范围是（　　）

• A、[-2-2

  2

  ，-2+2

  2

  ]
• B、[2-2

  2

  ，2+2

  2

  ]
• C、(-∞，-2-2

  2

  ]∪[-2+2

  2

  ，+∞)
• D、(-∞，2-2

  2

  ]∪[2+2

  2

  ，+∞)

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：综合题,直线与圆

分析：由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．

解答： 解：由圆的方程（x-1）²+（y-1）²=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，
∵直线（m-1）x+（n-1）y+2=0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d=

|m+n|

(m-1)2+(n-1)2

=1，
整理得：mn=-m-n+1，
设m+n=x，则有mn≤

x2

4

，
∴-x+1≤

x2

4

∵x²+4x-4≥0，
∴不等式变形得：（x+2-2

2

）（x+2+2

2

）≥0，
解得：x≥-2+2

2

或x≤-2-2

2

，
则m+n的取值范围为（-∞，-2-2

2

]∪[-2+2

2

，+∞）．
故选：C．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了转化及换元的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．