Question

7．函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为$\frac{π}{2}$，且图象上一个最低点为M（$\frac{2π}{3}$，-2）．
（1）求函数f（x）的解析式及单调增区间；
（2）求 当x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]时，f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由最低点可求A，由已知可得周期T=π，利用周期公式可求ω，利用点$M（{\frac{2π}{3}，-2}）$在图象上，结合范围$φ∈（{0，\frac{π}{2}}）$，可求φ，可求函数解析式，利用正弦函数的单调性可求单调递增区间．
（2）由$x∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$，可求范围$2x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{3}，\frac{7π}{6}}]$，利用正弦函数的图象和性质可求其值域．

解答 解：（1）∵依题意，由最低点为$M（{\frac{2π}{3}，-2}）$，得A=2，
又∵周期T=π，∴ω=2．
∵由点$M（{\frac{2π}{3}，-2}）$在图象上，
∴得$2sin（{\frac{4π}{3}+φ}）=-1$，
∴$\frac{4π}{3}+φ=-\frac{π}{2}+2kπ，k∈{Z}$，
∴$φ=-\frac{11π}{6}+2kπ$．
∵$φ∈（{0，\frac{π}{2}}）$，
∴$φ=\frac{π}{6}$，
∴$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）$．
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，得$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$．
∴函数f（x）的单调区间是$[{kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}}]（k∈{Z}）$．
（2）∵$x∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$，$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）$，
∴$2x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{3}，\frac{7π}{6}}]$．
当$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{6}$时，f（x）取得最大值2；
当$2x+\frac{π}{6}=\frac{7π}{6}$，$x=\frac{π}{2}$时，f（x）取得最小值-1，故f（x）的值域为[-1，2]．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．