Question

12．对于实数x，将满足“0≤y＜1且x-y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用符号?x＞表示．对于实数a，无穷数列{a_n}满足如下条件：
①a₁=?a＞； ②a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{＜\frac{1}{{a}_{n}}＞（{a}_{n}≠0）}\\{0（{a}_{n}=0）}\end{array}\right.$．
（Ⅰ）若a=$\sqrt{2}$时，数列{a_n}通项公式为a_n=$\sqrt{2}$-1；
（Ⅱ）当a＞$\frac{1}{2}$时，对任意n∈N^*都有a_n=a，则a的值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 

Answer 1

分析 （I）根据＜$\sqrt{2}$＞的定义和$\sqrt{2}$的范围依次计算a₁，a₂，a₃，即可得出结论；
（II）根据定义可知$\frac{1}{2}＜a＜1$，依次计算a₁，a₂，列方程即可解出a的值．

解答 解：（I）∵1$＜\sqrt{2}$＜3，
∴a₁=＜$\sqrt{2}$＞=$\sqrt{2}$-1，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=$\sqrt{2}+1$，
∵2$＜\sqrt{2}+1＜3$，
∴a₂=＜$\sqrt{2}+1$＞=$\sqrt{2}+1-2$=$\sqrt{2}$-1，
同理可得：a₃=a₄=…=a_n=$\sqrt{2}-1$，
∴a_n=$\sqrt{2}$-1，
（II）∵a₁=＜a＞=a，∴a＜1，
又$a＞\frac{1}{2}$，∴1$＜\frac{1}{a}＜2$，
∴a₂=＜$\frac{1}{{a}_{1}}$＞=＜$\frac{1}{a}$＞=$\frac{1}{a}-1$，
∵a₂=a，
∴$\frac{1}{a}-1=a$，解得a=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案为（I）${a_n}=\sqrt{2}-1$，（II）$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．

点评 本题考查了对新定义的理解，数列的通项公式的计算，属于中档题．