题目内容
已知椭圆W：
+
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
，且斜率为
的直线l1过椭圆W的焦点及点（0，-2
）．
（Ⅰ）求椭圆W的方程；
（Ⅱ）已知直线l2过椭圆W的左焦点F，交椭圆于点P、Q．
（ⅰ）若满足
•
•tan∠POQ=4（O为坐标原点），求△POQ的面积；
（ⅱ）若直线l2与两坐标轴都不垂直，点M在x轴上，且使MF为∠PMQ的一条角平分线，则称点M为椭圆W的“特征点”，求椭圆W的特征点．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆W的方程；
（Ⅱ）已知直线l2过椭圆W的左焦点F，交椭圆于点P、Q．
（ⅰ）若满足
| OP |
| OQ |
（ⅱ）若直线l2与两坐标轴都不垂直，点M在x轴上，且使MF为∠PMQ的一条角平分线，则称点M为椭圆W的“特征点”，求椭圆W的特征点．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（Ⅰ）直线l的方程为y=
x-2
，由此求出c=2，又椭圆W的短轴长为2
，由此能求出椭圆W的方程．（Ⅱ）（ⅰ）由
•
•tan∠POQ=4，得|
|•|
|•sin∠POQ=4，由此能求出△POQ的面积．（ⅱ）设特征点M（m，0），左焦点为F（-2，0），设直线PQ的方程为x=
-2，由
，得(
+3)y2-
-2=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出椭圆C的特征点．
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| OP |
| OQ |
| OP |
| OQ |
| y |
| k |
|
| 1 |
| k2 |
| 4y |
| k |
解答：
解：（Ⅰ）由题意可知，直线l的方程为y=
x-2
，…（1分）
∵直线l过椭圆W的焦点，∴该焦点坐标为（2，0）∴c=2…（2分）
又椭圆W的短轴长为2
，∴b=
，
∴a2=b2+c2=4+2=6…（3分）
∴椭圆W的方程为
+
=1．…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）∵
•
•tan∠POQ=4
∴|
|•|
|•cos∠POQ•tan∠POQ=|
|•|
|•sin∠POQ=4，…（6分）
∴S△POQ=
•|
|•|
|•sin∠POQ=
×4=2．…（8分）
（ⅱ）设特征点M（m，0），左焦点为F（-2，0），
设直线PQ的方程为x=
-2，
由
，消去x得(
+3)y2-
-2=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则y1+y2=-
，y1•y2=
…（10分）
∵MF为∠PMQ的一条角平分线，
∴kPM+kQM=0，即
+
=0…（12分）
又x1=
-2，x2=
-2，
代入上式可得
y1y2-2(y1+y2)-m(y1+y2)=0
∴
(
)-(2+m)(
)=0，解得m=-3
∴椭圆C的特征点为M（-3，0）．…（14分）
| 3 |
| 3 |
∵直线l过椭圆W的焦点，∴该焦点坐标为（2，0）∴c=2…（2分）
又椭圆W的短轴长为2
| 2 |
| 2 |
∴a2=b2+c2=4+2=6…（3分）
∴椭圆W的方程为
| x2 |
| 6 |
| y2 |
| 2 |
（Ⅱ）（ⅰ）∵
| OP |
| OQ |
∴|
| OP |
| OQ |
| OP |
| OQ |
∴S△POQ=
| 1 |
| 2 |
| OP |
| OQ |
| 1 |
| 2 |
（ⅱ）设特征点M（m，0），左焦点为F（-2，0），
设直线PQ的方程为x=
| y |
| k |
由
|
| 1 |
| k2 |
| 4y |
| k |
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则y1+y2=-
| 4k |
| 3k2+1 |
| -2k2 |
| 3k2+1 |
∵MF为∠PMQ的一条角平分线，
∴kPM+kQM=0，即
| y1 |
| x1-m |
| y2 |
| x2-m |
又x1=
| y1 |
| k |
| y2 |
| k |
代入上式可得
| 2 |
| k |
∴
| 2 |
| k |
| -2k2 |
| 1+3k2 |
| 4k |
| 1+3k2 |
∴椭圆C的特征点为M（-3，0）．…（14分）
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，考查椭圆的特征点的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
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