题目内容

已知x2+y2-i[
.
3(x+yi)
]=1-（
.
3i
），设复数z=x+yi（x，y∈R），求z．
考点：复数代数形式的混合运算
专题：数系的扩充和复数
分析：由题意可得x2+y2-3y-3xi=1+3i，再利用两个复数相等的充要条件可得：
x2+y2-3y=1
-3x=3
，求得x、y的值，可得复数z．
解答： 解：∵x2+y2-i[
.
3(x+yi)
]=1-（
.
3i
），即 x2+y2-3y-3xi=1+3i，
由复数相等得：
x2+y2-3y=1
-3x=3
，
解得：
x=-1
y=0
，或
x=-1
y=3
，
∴z=-1，或z=-1+3i．
点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相等的充要条件，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知曲线C：
y2
λ
+x2=1．
（Ⅰ）由曲线C上任一点E向x轴作垂线，垂足为F，动点P满足
FP
=3
EP
，求P的轨迹方程，点P的轨迹可能是圆吗？请说明理由；
（Ⅱ）如果直线l的斜率为
2
，且过点M（0，-2），直线l交曲线C于A、B两点，求
MA
•
MB
的取值范围．
已知函数f（x）=
1(x≥2)
x-1(x＜2)
，g（x）=g′（2）x2-3x+5，则方程f[g′（1）]=x的解为
 
．
在△AOB的边OA、OB上分别有一点P、Q，已知OP：PA=1：2，OQ：QB=3：2，连结AQ、BP，设它们交于R点，若
OA
=
a
，
OB
=
b
，设
OR
=λ
a
+μ
b
，试求出λ和μ的值．
已知函数f（x）=sin2x+2cos2x-1，x∈R．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）若x∈[0，
π
2
]，求f（x）的最小值．
已知三个数成等差数列，其和为27，首末两项的乘积为32，求这三个数．
已知椭圆W：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
2
，且斜率为
3
的直线l1过椭圆W的焦点及点（0，-2
3
）．
（Ⅰ）求椭圆W的方程；
（Ⅱ）已知直线l2过椭圆W的左焦点F，交椭圆于点P、Q．
（ⅰ）若满足
OP
•
OQ
•tan∠POQ=4（O为坐标原点），求△POQ的面积；
（ⅱ）若直线l2与两坐标轴都不垂直，点M在x轴上，且使MF为∠PMQ的一条角平分线，则称点M为椭圆W的“特征点”，求椭圆W的特征点．
已知椭圆C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点S（0，-
1
3
）的直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于2km，灯塔A在C北偏东45°处，灯塔B在C南偏东15°处，则A、B之间的距离为
 
．

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